테서랙트(tesseract) :: 4차원을 재현하는 하이퍼큐브(초입방체)

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!수학 분야이지만 수학밸리가 없어서 과학밸리로

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작년 10월 즈음 에드윈 애봇(Edwin A. Abbott)의 <플랫랜드>(1884)를 택배로 받아본 날 오후, 석양이 비치는 거실 쇼파에 앉아 단번에 읽어버린 기억이 있다. <플랫랜드>는 국내에 어째서인지 많이 알려지지 않았는데, 기하학계의 걸리버 여행기 정도로 소개되고는 한다. 3차원 세계의 구와 마주친 2차원 세계에 사는 사각형의 여행기라고 해야할까. 내가 그동안 공간과 이미지를 받아들이는 데 있어서 '차원'이라는 요소를 상당히 배제해 왔다는 사실을 깨닫게 한 책이었다.
15세기 이후 서구의 미술가들은 3차원 대상을 2차원 평면에 재현하기 위한 기술을 연마해왔고 20세기 초부터는 회화 공간의 구성에 있어 전통적 방법들을 붕괴 또는 연장시켜 4차원을 환기해보려는 시도가 이루어졌다.# 한편 위에서 언급한 <플랫랜드> 처럼 시각화가 아닌 논리적 상상에만 의존하는 문학 작품도 있었고, 찰스 힌턴(Charles H. Hinton)과 같은 괴짜 과학자들이 고안한 특수한 장치도 있었으니, 그것이 바로 4차원 입방체-초입방체: 4차원 입체의 3차원 그립자, 테서랙트(tesseract)(1900년 경)다. 

<사진1>*
이것은 테서랙트의 전개도이다. 

3차원 입체를 평면으로 전환시킬 때 발생하는 왜곡을 제거할 수 있는 방법은 2차원 평면에 그 전개도를 그리는 것이다. (<사진2>)
4차원 입체의 3차원 그림자인 테서렉트도 그 전개도로서 보다 '정확하게' 그려질 수 있다.

<사진2>**
오른쪽과 같은 2차원 전개도를 보고 우리는 3차원 입체를 손쉽게 상상할 수 있다. 
다시 위로 올라가 테서랙트의 전개도를 보자. 전개도가 조립되었을 때의 모습을 그려 볼 수 있는가?

<사진3>***
같은 번호의 면을 붙이면 테서랙트가 완성된다.

<사진4>****

다른 방향으로 본 모습

그런데 위 그림에서 표현된 테서랙트 각 면의 선분이 만나는 각은 모두 수직이어야 한다. 4차원 입체를 2차원 평면에 투영시키는 과정을 통해 형상의 왜곡이 발생하고 있다. 따라서 우리가 4차원 입체를 볼 수 있는 방법은, 그 그림자로서 한 단계 낮은 차원에 투영된 형상을 보는 것이다.

<사진5>*****

사실 위와 같이 표현된 모습은 테서랙트 그림자에 해당하는 모습이다. 3차원의 입체가 2차원 평면에 다양한 형태의 평면 그림자로서 나타나질 수 있듯이 4차원 공간의 입체는 3차원 공간에서 다양한 형태의 입체 그림자로서 그 존재가 암시될 수 있다. 

자, 그럼 이를 좀 더 풀어 설명하기 위해 점, 선, 면, 입체가 구성되는 모습을 살펴보자.

<사진6>******

1차원의 직선은 0차원의 점이 한쪽에서 다른 쪽으로 이동한 흔적이다.  또한 2차원의 면은 1차원의 직선이 위쪽에서 아래쪽으로 이동한 흔적이며, 3차원의 입방체는 2차원의 면이 뒤쪽에서 앞쪽으로 이동한 흔적이다. 이와 같이 방법으로 4차원의 하이퍼큐브는 3차원의 입방체가 한쪽에서 다른쪽으로 이동한 흔적으로 존재할 수 있다는 것을 추론할 수 있다. 

하지만 4차원 공간에서의 수직 방향을 3차원에서 표현할 수 없기 때문에 위 표에서의 하이퍼큐브는 3차원에서의 여러 가지 모습 중 하나에 불과할 수 밖에 없는 것이다. 3차원 입체를 2차원에 투영시킬 때 왜곡이 발생하듯이(옆 면의 각들이 45도로 표현됨) 4차원 입체도 모든 면이 직각이 되어야 함에도 불구하고 왜곡이 발생한 형상으로서 우리 눈에 인지될 수밖에 없다.

하지만 테세랙트를 표현한 움직이는 이미지를 통해서 우리가 가진 인지의 한계를 조금이나마 덜어보자.

사실 이걸 봐도 크게 달라지는 건 없다. 위 영상을 볼 때 우리는 시간의 흐름을 인지하지만 테서랙트는 그 흐름과 관계없이 위에서 보여지는 변화들을 겪고 있기 때문이다. 이에 따라 3차원에 존재하는 생물체인 우리가 가지고 있는 '앞', '뒤', '오른쪽', '왼쪽', '위', '아래'라는 관념은 4차원 공간에서는 무의미해진다. 이 논리 과정의 근거는 좀더 찾아 봐야겠다.

다음은 유튜브 서핑 중 발견한 칼 세이건Carl Sagan의 <코스모스Cosmos> 중 '4차원 우주'에 해당하는 부분